Kandidatuppsatser

Permanent URI for this collectionhttps://gupea-staging.ub.gu.se/handle/2077/29436

Browse

Now showing 1 - 20 of 129

Diskret matematisk modell av humant glioblastom och dess invasionsmönster i grå och vit hjärnsubstans
(2025-07-01) Fixell, Gustav; Haamid, Arwa; Jarebrant, Timothy; Kehdi, Vanessa; Lång, Jonathan; Rylander, Felix; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Detta arbete undersöker huruvida implementering av en mekanism för interaktion mellan celler och deras omgivning kan förbättra en modell för tillväxt av hjärntumörer av typen glioblastom (GBM). Modellen som tagits fram är diskret och stokastisk, och är baserad på versionen av lattice gas cellular automata som formulerades av Tektonidis m.fl. Tillägget består i en fallenhet för celler att vandra längs vit hjärnsubstans före grå sådan, vilken integrerats genom segmentering av verkliga hjärnor. Modellen bygger på ett antal parametrar knutna till sannolikhet. Dessa optimerades genom tillämpandet av approximativ bayesiansk beräkning (eng. approximate Bayesian computation; ABC). Både den ursprungliga och den vidareutvecklade modellen har jämförts med MR-bilder och segmenteringar av riktiga GBM från två olika patienter. Datan med vilken simuleringarna jämförts kommer från datamängden LUMIERE. Jämförelsen gjordes med hjälp av Jaccardindex, och resultaten tyder på att den utvecklade modellen kan prestera bättre. Dessa resultat bör dock betraktas med försiktighet, eftersom de till följd av begränsningar i datan och de biologiska antaganden som gjorts är förenade med viss osäkerhet. Detta diskuteras i rapporten. Arbetet bidrar till att lägga grunden för vidare utveckling av modeller som tar hänsyn till den påverkan omgivningen har på hur GBM växer.
Many Shared Resources Scheduling Problem
(2025-06-30) Björkenbacke, Olle; Kihl, Hampus; Lapidus, Olle; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Schemaläggning med många delade resurser är ett algoritmiskt problem där ett antal jobb ska schemaläggas på identiska maskiner. Varje maskin kan endast bearbeta ett jobb åt gången. Varje jobb hör till en specifik resurs, och två jobb som delar samma resurs kan inte behandlas parallellt. Att minimera makespan, vilket är tiden då det sista jobbet avslutas, är ett NP-svårt problem. Istället för att söka den optimala lösningen undersöker vi flera approximationsalgoritmer som på polynomisk tid hittar ett schema vars makespan högst överstiger den optimala makespan med en viss faktor. Vi presenterar omformuleringar av 3/2- och 5/3-algoritmerna som först introducerades av Deppert et al. [1], samt en ny 4/3-algoritm som fungerar under vissa förenklade antaganden om uppsättningen av jobb. Denna nya 4/3-algoritm funkar om det inte finns vissa typer av stora jobb, och vi presenterar även idéer för hur det skulle kunna gå att få algoritmen att fungera i det allmänna fallet. Dessutom implementerar vi flera algoritmer och vissa optimeringar och heuristiker, och jämför deras prestanda på slumpmässigt genererad data. Simuleringarna visar att även om approximationsalgoritmerna som diskuterats i tidigare avsnitt är användbara för att bevisa vissa egenskaper hos problemet, verkar heuristiska algoritmer vara bättre lämpade för verkliga tillämpningar.
Exceptionella klustringsprocesser för urskog: Simulering och analys av exceptionell klustring i trädpopulationer
(2025-06-30) Jonsson, Amelia; Lenngren, Alexander; Magnusson, Lisa; Vallin Crnoja, Mats; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
I detta arbete modelleras ett exceptionellt klustrat punktmönster med hjälp av spatiala punktprocesser. Punktmönstret representerar den spatiella placeringen av träd i skogsområdet VES13, givet av ERIKA-projektet som genomförts i Finland. Syftet är att återskapa det observerade mönstret genom att utveckla och analysera modeller anpassade till denna typ av data. Simuleringar genomförs i programmeringsspråket R med hjälp av paketet spatstat. För att efterlikna det trädmönstret givet av datamängden testades först några standardmodeller för klustrade punktmönster såsom Thomasprocessen, den omodifierade Thomasprocessen samt en kombination av dessa kallad halvvägs Thomasprocess. Modellerna lyckades skapa kluster men inte exceptionella kluster, så för att bättre fånga dessa utvecklades tre nya modeller som även tar hänsyn till biologiska faktorer. den iterativa Thomasprocessen skapar kluster genom en iterativ generering av dotterpunkter, medan den intensitetsstyrda Thomasprocessen tillåter parameteranpassningar för större kontroll över storleken och tätheten på kluster. Slutligen anpassas en hierarkisk Poissonprocess där intensiteten styrs av ett latent fält, vilket modellerar klustring genom variation av intensiteten. Avslutningsvis jämfördes modellerna med ett test och olika sammanfattande statistiskor. Resultaten visar att de modeller med hänsyn till biologiska faktorer lyckas efterlikna det exceptionella klustermönstret från datamängden bäst.
Riemannhypotesen och Elliptiska Kurvor
(2025-06-30) Carnesten, Max; Lindahl, Tage; Miles, Sebastian; Szybek, Daniel; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Arbetet är en kort utläggning om Riemannhypotesen för elliptiska kurvor över ändliga kroppar. Texten öppnar med en introduktion till affina och projektiva varieteter inom algebraisk geometri, för att sedan avgränsa och specialisera teorin till kurvor. Huvuddelen av texten behandlar elliptiska kurvor och deras grupplag. Ett särskilt fokus läggs på morfier som bevarar grupplagen och verktyg som används för att studera dessa, bland annat invarianta differentialer. Vi avgränsar sedan teorin till elliptiska kurvor över ändliga kroppar, samt den så kallade Frobeniusendomorfin, som är central inom studien av rationella punkter. Avslutningsvis introducerar vi Tate-modulen och Weils em-parning, för att slutligen kombinera våra resultat och bevisa nämnda Riemannhypotesen.
Banach-Tarskis paradox: amenabla grupper och urvalsaxiom
(2025-06-27) Almgren Nyle´n, Albin; Duchek, Elliot; Olausson, Edwin; Stockfelt, Edwind; Svedenkrans, Elmer; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Vi presenterar bevis av både den starka och svaga formuleringen av Banach-Tarskis para dox. Specifikt visar vi att alla klot i R3 är E(3)-paradoxala (svaga formuleringen), och att alla begränsade delmängder av R3 med icke-tom interiör är E(3)-ekvidekomponerbara (starka formuleringen). Vi presenterar relevant teori gällande ekvidekomponerbarhet och paradoxalitetsom krävs för att genomföra bevisen. Utöver Banach-Tarskis paradox undersöker vi amenabla grupper och presenterar ett graf teoretiskt bevis av Tarskis sats, nämligen att en grupp antingen är amenabel eller paradoxal. Vi ger några exempel på amenabla och paradoxala grupper, presenterar nödvändiga och tillräckliga villkor för amenabilitet och visar att alla Abelska grupper är amenabla samt att SO(n) är paradoxal för alla n ≥ 3 medan SO(1) och SO(2) är amenabla. Då Banach-Tarskis paradox bygger på paradoxaliteten hos SO(3) finns det alltså ingen analog paradox i R eller R2. Vi undersöker också urvalsaxiomets roll genom att visa att en uppräknelig begränsning av urvalsaxiomet inte ger Banach-Tarskis paradox. Detta gör vi genom att introducera de terminismaxiomet och visa att under detta är alla delmängder av R Lebesgue-mätbara vilket motsäger paradoxen. Därefter lägger vi även till axiomet V = L(R) och visar att de tillsammans medför den uppräkneliga begränsningen av urvalsaxiomet. Sammanlagt ger detta en modell där det uppräkneliga urvalsaxiomet håller men inte Banach-Tarskis paradox.
Kolmogorov-Arnold Nätverk, Framtidens AI?
(2025-06-27) Larsen, Jolie; Eliasson, Oscar; Malmquist, Alexander; Redin, Måns; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Artificiell intelligens integreras idag i alltfler tekniska system. Trots det, är det fortfarande svårt att i praktiken implementera modeller från grunden på grund av höga resurskrav i form av data och beräkningskraft. Detta motiverar sökandet efter effektivare modeller. I denna artikel undersöks Kolmogorov Arnold Networks (KANs), en alternativ arkitektur av neurala nätverk och jämförs med traditionella arkitekturer som multilayer perceptrons (MLPs) och faltningsnätverk. KANs är intressanta då de potentiellt erbjuder fördelar som högre noggrannhet, är lättare att tolka och innehar teoretiskt goda skalningslagar [1]. Vi undersöker KANs och särskilda modiferingar av dessa (Sprecher-KANs) relativt MLPs. Jämförelsen görs genom att analysera utfallet från tre experiment. Specifikt analyseras mo dellernas förmågor för kurvanpassning, bildrekonstruktion och bildklassificering. I resultaten uppvisar Sprecher-KANs högre prestanda än KAN och i sin tur att KAN överpresterar MLPs. Faltningsnätverken överträffar KANs i prestanda, medan Sprecher-KANs presterar likvärdigt med faltningsnätverken.
Prediktion av hårfärg och ögonfärg från genetiska markörer inom forensisk verksamhet
(2025-06-27) Nilselid, Robin; Johansson Sporre, Filippa; Järlstam, Gustav; Lewis, Ludwig; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Just nu pågår studier om nya tekniker inom forensisk verksamhet som ska möjliggöra använd ning av DNA för att förutsäga fenotypiska egenskaper, såsom ögon- och hårfärg, från biologiskt material som hittats på brottsplatser. Dessa prediktioner kan vara särskilt värdefulla i utred ningar där traditionell DNA-profilering inte ger tillräcklig information. I denna rapport har data från Rättsmedicinalverket använts, bestående av sex single-nucleotide polymorphisms (SNPs) associerade med ögonfärg och 22 SNPs associerade med hårfärg, insamlade från 85 individer. Syftet med rapporten är att utveckla en statistisk prediktionsmodell som pålitligt kan klassificera ögon- och hårfärg baserat på genetisk information med hjälp av Markov chain Monte Carlo (McMC)-metoder. Det utvecklades flera modeller under projektets gång men i huvudsak användes två modeller för ögonfärger och tre modeller för hårfärger. Prediktions modellerna för ögonfärg visade mycket god förmåga att särskilja personer med blå och bruna ögon. Däremot uppstod svårigheter vid identifiering av individer med gröna ögon eller ögon färger som låg mellan blått och brunt. För hårfärg visade modellen en styrka i att identifiera personer med brunt hår, men hade begränsad förmåga att korrekt klassificera övriga hårfär ger, exempelvis tenderade individer med blont, rött eller svart hår att felaktigt klassificeras som brunhåriga. Dessa resultat understryker behovet av vidare forskning med större och mer varierade datamängder för att förbättra modellens inlärningsförmåga och precision. Tekni ken har stor potential att bidra till effektivare brottsutredningar genom att avgränsa antalet möjliga misstänkta, men det är också viktigt att beakta de osäkerheter som är förknippade med fenotypisk prediktion. I rapporten diskuteras faktorer som kan påverka prediktionernas tillförlitlighet, såsom tekniska begränsningar, kosmetiska förändringar, miljöfaktorer och trau man. Sammantaget indikerar resultaten att området är lovande, men att fortsatt forskning är nödvändig för att stärka metodens praktiska användbarhet.
Gauss remarkabla sats och matematisk kartografi
(2025-06-27) Dao, My Linh; Löwendahl, Eric; Granath, Ludvig; Söderberg, Mandreja; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Följande kandidatarbete ämnar studera begreppet krökning samt bevisa Gauss remarkabla sats för att förstå dess konsekvenser för tillämpningar inom kartografi. Arbetet inleds med att bygga upp fundamenten i kurvteori i plan och rum, där begreppet krökning först introduceras. Vidare definieras begreppet yta i tre dimensioner, för att sedan beskriva krökningsbegreppet för ytor. Detta leder till en diskussion om hur en ytas första respektive andra fundamentala former används för att mäta längd, vinklar samt Gausskrök ning. Därefter introduceras begreppet isometri mellan ytor, för att sedan bevisa att en ytas Gausskrökning bevaras under isometrier, det vill säga Gauss remarkabla sats. Slutligen stu deras satsens tillämpningar inom matematisk kartografi, där konforma och areabevarande projektioner från sfärer till plan studeras. Vidare visas bland annat att en kartprojektion inte kan vara både konform och areabevarande samtidigt, och att det inte heller är möjligt för en konform eller areabevarande projektion att avbilda storcirklar på räta linjer.
Lågrangmatriskomplettering: En jämförelse av två algoritmer
(2025-06-26) Fernstedt, Douglas; Gustafsson, Ellen; Andersson, Erik; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Lågrangmatriskomplettering innefattar algoritmer som fyller ut saknade värden i en matris under antagandet att den kompletta matrisen är av låg rang. Rapporten har undersökt två olika algoritmer för långrangmatriskomplettering, singular value thresholding (SVT) och nor malized iterative hard thresholding (NIHT), på slumpmässigt genererad data och ett urval av databasen Netflix prize data. Rapportens syfte är att bestämma vilken av dessa två algoritmer som lämpar sig bättre för komplettering av Netflix-datan och slumpmässigt genererad data. För att mäta detta undersöktes hur nära algoritmerna konvergerar till de kompletta matriser na i termer av bland annat RMSE samt hur lång tid det tar för de olika algoritmerna att köra givet olika parameterval. Eftersom både NIHT och SVT använder sig av singulärvärdesdekom position som steg i algoritmen undersöktes även hur olika numeriska metoder för att beräkna dessa påverkar precisionen och tiden det tar att köra algoritmerna. Rapporten visade att SVT var snabbare och gav högre precision än NIHT när det kommer till att komplettera Netflix-databasen. Däremot visar NIHT god precision att komplettera slumpmässigt genererad data och kan även göra det snabbare än SVT om en tillräckligt god uppskattning av rangen anges i förväg. Testerna visade även att NIHT kan ge bättre resultat om vissa parametrar i algoritmen justeras, vilket kan vara av intresse för vidare forskning. Nyckelord - Lågrangmatriskomplettering, normalized iterative hard thresholding, singular va lue thresholding, singulärvärdesdekomposition.
Extremvärdesanalys av nederbördstrender i Sverige
(2025-06-26) Nyström, Emil; Björklund, Hanna; Gustafsson, Elin; Morsing, Olof; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Denna rapport undersöker trender i extrema dygnsnederbördshändelser vid 37 svenska mät stationer med syfte att avgöra om extrem nederbörd blivit intensivare och frekventare i takt med klimatförändringarna. Datan som användes är över dygnsnederbörd och hämtades från SMHI. Den analyserades med extremvärdesteori i programmeringsspråket R, det tillämpades huvudsakligen två metoder, tröskelmetoden och block maxima-metoden tillsammans med en GEV-fördelning och en GP-fördelning. För tröskelmetoden analyserades överskridandens av stånd till 99.5% kvantilen och för block maxima-metoden analyserades årliga maximum. Som komplettering gjordes även en modellering med en inhomogen Poissonprocess för att under söka frekvens. För samtliga analyser användes likelihoodkvot-test varefter p-värden beräknats för att bedöma signifikans, med signifikansnivå α = 0, 05. Resultatet visade att 16% av sta tionerna hade signifikant trend enligt block maxima-metoden, medan 10% hade signifikans med tröskelmetoden. Den inhomogena Poissonprocessen ger däremot ett tydligare resultat, där uppvisar 38% av stationerna signifikanta trender. Baserat på medianen av trendskatt ningarna i frekvens har det skett en ökning med 55% de senaste 60 åren. Detta tyder på att extrem nederbörd har blivit mer frekvent, även om de årliga maximumen inte ökat i samma uträckning. Det i sin tur tyder på att den statistiska osäkerheten var för stor för att upptäcka alla trender i årliga maximum. Avslutningsvis tas samhälleliga aspekter och konsekvenser av ökad extrem nederbörd upp, såsom påverkan på infrastruktur och översvämningsrisker. Det ges också förslag på framtida projekt. Bland annat hade det varit intressant att studera hur nederbörden ökar med avseende på temperatur.
Sveriges befolkning: På randen till utdöende eller evig tillväxt?
(2025-06-26) Ivarsson, Axel; Ekelund, Nina; Sjöberg, Erik; Trygg, Valter; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Nyligen kom ett pressmeddelande från Statiska Centralbyrån (SCB) att Sverige har den lägs ta siffran på antal barn per kvinna i modern tid, 1.43. Därför är det relevant att spekulera kring hur Sveriges framtida befolkningsmängd kan se ut, både på kort och lång sikt. I detta arbete har begrepp undersökts som populationsstorlek, fruktsamhetstal, försörjningskvot och befolkningspyramid, och hur dessa ter sig över tid. Fyra scenarier analyserades: oförändrad fruktsamhet, fortsatt nedgång, övergång till ökning samt en cyklisk utveckling med både minskningar och ökningar. Modeller har byggts upp på grunder av matematiska koncept som Galton–Watson–processer och Leslie–matriser, som be skrivs med begrepp som sannolikhetsgenererande funktioner och LF–fördelningen (linear frac tional offspring distribution). Därifrån har populationer simulerats i programmeringsverktyget Python för att illustrera resultaten och till slut jämföra två huvudmodeller, Galton–Watson– modellen och Leslie–modellen. Resultatet är att i båda modellerna överlever befolkningen fallet med en strikt ökande frukt samhet. För båda modellerna gäller att i resterande scenarion dör befolkningen efter lång tid ut. Framtiden är dock mer slumpmässig än vad någon av modellerna speglar, de olika fallen bör mer ses som scenarion värda att tänka på.
En gåtfull siffra
(2025-06-23) Hallberg, Agnes; Hillestrand, Isabel; Mushin, Fatimah; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Denna litteraturstudie syftar till att undersöka nollans historiska utveckling samt lärares, lärarstudenters och elevers förståelse av division med noll. Fortsättningsvis behandlas frågan om matematikhistoria kan användas i undervisningen för att gynna elevers förståelse för noll och division med noll. Materialet utgörs av vetenskapliga artiklar, svenska matematikläroböcker för mellan- och högstadiet samt den svenska läroplanen [Lgr22]. Metoden är en kvalitativ litteraturstudie som innefattar historisk granskning, analys av didaktiska studier och en läroboksundersökning. Inledningsvis kartläggs den historiska utvecklingen av nollan, från dess tidiga användning som platsmarkör hos babylonierna och i mayakulturens kalendermatematik till dess erkännande som ett självständigt tal i det hindu-arabiska talsystemet. Vidare fokuserar studiens resultat på att identifiera olika förklaringsmodeller och missförstånd kring division med noll bland lärare, lärarstudenter och elever. Fem olika förklaringsmodeller identifieras för hur division med noll i nämnaren tolkas. Dessa fem är följande: att kvoten blir ett tal, att den blir noll, att den blir oändlig, att operationen är omöjlig, eller att den är odefinierad. Slutligen presenterar resultatet om matematikhistoria kan ge en pedagogisk vinst i undervisningen i matematik. Vidare diskuteras matematikhistoriens potentiella bidrag och risker för förståelsen av noll och division med noll i undervisningen. Diskussionen inkluderar även en analys av hur historiska talsystem, naturliga tal och division med noll presenteras i svenska läroböcker i matematik, i förhållande till läroplanen [Lgr22]. Slutligen föreslås konceptuella undervisningsstrategier som bygger på sambandet mellan multiplikation och division samt gränsvärdesbegreppet för att förklara varför division med noll är odefinierad.
Vad är en funktion?
(2025-06-23) Ireklint, Linneá; Lindroos, Hanna; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
The concept of function represents a major part of mathematics and becomes more significant in school during high school. Throughout history, it has been a difficult concept to define and may create challenges for contemporary students. This literature study aims to identify students' difficulties with the concept of function, as well as to account for how the definition of a function has evolved historically. The literature study has been conducted through database searches in ERIC, Education Research Complete and MathSciNet via EBSCOhost, as well as through chain searching. The study results in identifying that students' difficulties with the concept of function primarily include the graphical and algebraic forms of representation. The identified difficulties can be categorized according to conceptual understanding, students' mental images, graphical representation and specific mathematical difficulties related to constant functions, split domain and one-valuedness. One reason for the difficulties is discussed to be that calculation processes dominates over concept learning in the classroom. A consequence is that students lose interest in the subject. The results of this study are partly evaluated through the formulation of questions the studies are based on, aiming to promote students' competence, and partly through reliability when multiple sources reinforce each other. The historical development of the concept of function has, over several thousand years, resulted in a general and standardized definition, where historical milestones such as variable relation and differential calculus have been significant discoveries. It can be confirmed that the concept of function is abstract and can present various types of difficulties for students in their mathematical understanding. This can be related to the definition of function from a historical perspective, as the concept has been difficult to define throughout history.
Från antikens algoritmer till dagens klassrum
(2025-06-23) Johansson, Louice; Gökcen, Kadir; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
This paper is a literature review that examines how good mental calculation skills benefit pupils, which could work as a valuable learning tool for future teachers. The study addresses four key questions: ‘What are the advantages of proficient mental calculations?’, ‘What strategies exist for mental calculation skills?’, ‘How can teachers accommodate their teaching to develop pupils’ mental calculation skills?’ and ‘What has arithmetic looked like in different eras and what algorithms have been used?’. Through literature searches in search engines, scientific articles were found, which formed the basis for the result segment. This was divided into two parts: A historical and a didactic overview. The historical overview begins with the earliest example of human calculation, progresses through Ancient Egypt and Babylon, and concludes with Treviso-arithmetic. The didactical overview examines the relationship between mental calculation and number sense, flexibility, and estimation, in addition to various mental arithmetic strategies. The study concludes that mental calculation is valuable both in mathematics education and in everyday life. Furthermore, mental calculation has a correlation to strong number sense. By applying strategies such as estimation, teachers can promote an understanding of multiple strategies, which could lead to flexibility.
Räkna med läsning
(2025-06-23) Karlsson, Johanna; Wiker, Sofia; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Detta arbete syftar till att öka förståelsen för kopplingen mellan elevers läsförmåga och textproblemlösningsförmåga. Textproblem utgör ofta kopplingen mellan matematiken och verkliga situationer, något som har potential att göra matematiken meningsfull för eleverna. Trots detta finns brister i elevers förmåga att förstå och lösa textproblem, vilket vi misstänker kan vara ett resultat av bristande läsförmåga. Med denna bakgrund ämnar detta arbete att genom en litteraturstudie besvara tre frågor. ”Finns det en koppling mellan elevers läsförmåga och deras förmåga att lösa textproblem?”, ”Vilka element i matematiska texter påverkar elevers förståelse, och hur påverkar dessa element läsprocessen?” samt ”Hur kan lärare undervisa om läsning och språk kopplat till textproblemlösning?”. Utöver att besvara dessa frågor görs även en fördjupning inom matematik som ett språk och logik. Resultatet består av tre delar, en för vardera frågeställning. I första delen beskrivs ett funnet samband mellan god läsförmåga och god textproblemlösningsförmåga. Dessutom behandlas kort vilka språkliga och matematiska kunskaper som påverkar sambandet. Andra delen behandlar hur symboler, ovanliga ord och andra språkliga och numeriska faktorer påverkar elevernas läsning av matematiska texter. I matematiska texter sammanvävs ord, symboler och bilder, något som forskningen menar ställer krav på en specifik, matematisk läsförmåga. I sista delen av resultatet ges en överblick av vad litteraturen identifierar som viktiga områden att fokusera på i matematikundervisningen för att bemöta elevers svårigheter kopplade till läsning. Dessutom presenteras i denna del förslag på metoder och strategier som kan stärka elevernas förståelse av matematiska texter. Avslutningsvis diskuteras resultatet, begränsningar i metoden och intressanta frågor för framtida forskning.
Från de komplexa talens rötter till klassrummet
(2025-06-23) Martinsson, Ludvig; Ruderfors, Jakob; Santa, Armand; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
This research overview examines what research says about upper secondary school students' difficulties with complex numbers. The three main areas covered are general difficulties with complex numbers, how to teach the subject, and whether the history of complex numbers can be beneficial in this teaching. A historical deep dive into the history of complex numbers is also included to further investigate this idea. The results show that upper secondary school students struggle with complex numbers in various ways. The name of the subject creates a negative connotation, as it is initially perceived by students as fictional and complicated. Furthermore, a consequence of the inherently abstract nature of complex numbers is that gaining a comprehensive understanding of them is challenging. Students have difficulty switching between different representations of complex numbers and visualizing them. Students also struggle to understand that complex numbers are an extension of real numbers. Also, the results highlight several approaches to working with complex numbers to address these difficulties. Introducing complex numbers through problem-solving, for instance, to demonstrate their usefulness, is an alternative to the more traditional approach that often leads to misconceptions about complex numbers. Furthermore, practicing transitioning between different representations proved to be important. Similarly, the visualization of complex numbers using dynamic digital tools like GeoGebra was also emphasized. Potential benefits of integrating the history of mathematics into teaching were explored, with the argument that historical contexts can provide students with a more comprehensive understanding of complex numbers and their relevance. The results indicated that there are various ways to incorporate the history of mathematics in teaching, and there are potential benefits to doing so, but further research is needed.
Problemlösning i matematikundervisning
(2025-05-28) Svensson, Jessica; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Problemlösning har en särställning i styrdokumenten för grundskolan och är både en del av syftet, en av förmågorna samt en del av det centrala innehållet i kursplanen för matematik. Denna studie syftar till att undersöka hur verksamma matematiklärare på högstadiet använder problemlösning i undervisningen. Men även hur de definierar problemlösning inom matematik samt hur de anser att klassrumsklimat och normer påverkar lärandetillfällen vid problemlösning. Dessa frågeställningar har besvarats genom semistrukturerade kvalitativa intervjuer med sex matematiklärare från två olika skolor, i två olika kommuner i Sverige. Ett sociokulturellt perspektiv är det teoretiska ramverk som genomsyrar arbetet och analysen av transkripten. Studien visar att matematiklärarna beskriver problemlösning som att arbeta med uppgifter där eleverna inte direkt har en färdig lösningsmetod utan att det kräver kognitiv utmaning för att lösas. Lärarna arbetar ofta med problemlösning genom EPA-metoden där eleverna först får tänka själva, sedan i par och avslutningsvis tillsammans i helklass. Vid problemlösning menar lärarna att den stöttning de ger eleverna handlar om att ställa öppna frågor för att hjälpa eleverna förstå problemet men också att lära dem olika problemlösningsstrategier. Hur väl problemlösning blir lärandetillfällen anser lärarna att det även påverkas av vilket klassrumsklimat och vilka normer som råder. Ett öppet och tryggt klassrumsklimat där det är accepterat att göra fel beskrivs som gynnsamt vid problemlösningsaktiviteter.
En gåtfull siffra En studie om nollans historia och division med noll
(2025-05-28) Hallberg, Agnes; Hillestrand, Isabel; Muhsin, Fatimah; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Denna litteraturstudie syftar till att undersöka nollans historiska utveckling samt lärares, lärarstudenters och elevers förståelse av division med noll. Fortsättningsvis behandlas frågan om matematikhistoria kan användas i undervisningen för att gynna elevers förståelse för noll och division med noll. Materialet utgörs av vetenskapliga artiklar, svenska matematikläroböcker för mellan- och högstadiet samt den svenska läroplanen [Lgr22]. Metoden är en kvalitativ litteraturstudie som innefattar historisk granskning, analys av didaktiska studier och en läroboksundersökning. Inledningsvis kartläggs den historiska utvecklingen av nollan, från dess tidiga användning som platsmarkör hos babylonierna och i mayakulturens kalendermatematik till dess erkännande som ett självständigt tal i det hindu-arabiska talsystemet. Vidare fokuserar studiens resultat på att identifiera olika förklaringsmodeller och missförstånd kring division med noll bland lärare, lärarstudenter och elever. Fem olika förklaringsmodeller identifieras för hur division med noll i nämnaren tolkas. Dessa fem är följande: att kvoten blir ett tal, att den blir noll, att den blir oändlig, att operationen är omöjlig, eller att den är odefinierad. Slutligen presenterar resultatet om matematikhistoria kan ge en pedagogisk vinst i undervisningen i matematik. Vidare diskuteras matematikhistoriens potentiella bidrag och risker för förståelsen av noll och division med noll i undervisningen. Diskussionen inkluderar även en analys av hur historiska talsystem, naturliga tal och division med noll presenteras i svenska läroböcker i matematik, i förhållande till läroplanen [Lgr22]. Slutligen föreslås konceptuella undervisningsstrategier som bygger på sambandet mellan multiplikation och division samt gränsvärdesbegreppet för att förklara varför division med noll är odefinierad.
Undflyende inom teorin om booleska funktioner
(2025-03-12) Jansson, Sebastian; Persson, Sebastian; Plumeyer, Samuel; Tisell, Victor; Östholm, Philip; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Aanderaa-Karp-Rosenberg förmodan är en förmodan angående hur vissa egenskaper hos booleska funktioner relaterar till undflyende. Även om förmodan inte bevisats än har man lyckats visa att förmodan är sann om man antar vissa ytterligare krav på funktionen. Denna uppsats kommer presentera den relevanta teorin kring förmodan samt simplicialtopologi som ett tillvägagångssätt att angripa problemet. Förkunskaperna arbetet antar av läsaren är de som man lär sig under de första tre åren på matematikprogrammet. Därav förväntas ingen kunskap inom grafteori samt endast grundläggande kunskap inom topologi och därmed kommer dessa ämnen presenteras med detta i åtanke. Efter den relevanta teorin presenterats kommer teorin tillämpas på ett antal booleska funktioner i en resultatdel. Resultaten som presenteras kommer till största del bestå av att visa att en boolesk funktion agerande på en graf är undflyende eller icke-undflyende.
Effektiv implementering av Helmholtz ekvation med applikationer inom medicinsk bildbehandling i C++/PETSc
(2025-03-12) Dalebjörk, Joel; Huang, Cecilia; Lobo Roca, Pedro; Persson, Harry; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
I detta arbete approximeras Helmholtz ekvation med hjälp av den finita differensmetoden för olika parametrar såsom, dämpningsterm, rutnätsstorlek, frekvens och förkonditionerare. Helmholtz ekvation kan användas till mycket, bland annat används det vid akustik och seismologi. Men i detta arbete tillämpas Helmholtz ekvation inom medicinsk bildbehandling. Bara för att Helmholtz ekvation är användbar betyder det inte att den är lätthanterbar. Alla givna parametrar är intressanta i ett medicinskt mikrovågsbildbehandlingssyfte och har verkliga kopplingar. Mikrovågsbildbehandling används vid tumöridentifikation då tydliga skildringar i permittivitet detekteras vid bildbehandlingen. Behandlingen kan därav användas för att hitta tumörer i människokroppen. Syftet med arbetet är att hitta goda approximationer för olika parametrar, och hur de möjligtvis kan förbättras. Approximationens finhet bestäms med dess relativa fel vilket kallas för konvergensanalys, och representerar dess exakthet utomordentligt. Resultatens analys visar att ett tydligt intervall fås där approximationerna visar sig vara dåliga. Med detta betyder det att allt utanför detta intervall visar sig ge en bra approximation till Helmholtz ekvation, och är alltså det vi fokuserar på. När man då vill approximera en lösning till Helmholtz ekvation vill man hamna utanför det vi kallar resonansintervallet. För att hitta resultat som beskriver resonansintervallet kan koden som används i detta arbete tillämpas i eget syfte. Med lätta ändringar kan även övriga, och fler, parametrar tilläggas för personligare resultat. Dessa parametrar kan vara andra förkonditionerare, elektriska permittiviteter eller koefficienter för Helmholtz ekvation.

Browse

Recent Submissions