Geometri i höga dimensioner

Abstract

I detta kandidatarbete har vi f ordjupat oss i ett par problem inom konvex geometri som har intresserat matematiker sedan mitten av 1900-talet, n amligen Busemann-Petty-problemet och Shephards problem. Busemann-Petty-problemet st aller f oljande fr aga: Om det f or alla hyperplan H genom origo g aller att volymen av snittet mellan den konvexa kroppen K och H ar mindre an eller lika med volymen av snittet mellan den konvexa kroppen L och H, f oljer det d a att volymen av K ar mindre an eller lika med volymen av L? I Shephards problem tittar vi p a volymen av projektionen av konvexa kroppar p a hyperplan ist allet f or volymen av snitten mellan konvexa kroppar och hyperplan. Innan vi f ordjupar oss i dessa problem beh over vi ha en f orst aelse f or vad som h ander i h oga dimensioner, vilket inte alltid f oljer intuitionen. Ett exempel ar att volymen av den euklidiska bollen med x radie okar upp till dimension 5 och sedan minskar. Volymen f or den euklidiska bollen g ar till och med mot noll d a dimensionen g ar mot o andligheten. Det r acker inte med att studera euklidiska bollen f or att f a en f orst aelse av hur kroppar beter sig i h oga dimensioner s a vi har fokuserat p a ytterligare tv a kroppar, n amligen kuben och korspolytopen. Vi har ocks a studerat fenomen som volymkoncentration, inneh allna och omslutande sf arer samt Johns sats.