Variationens betydelse för elevernas lärande. Relationen mellan en funktions graf och grafen till funktionens derivata

Abstract

Begreppet derivata är mångfacetterat och innebörden kan beskrivas och tolkas i flera olika representationsformer. Elever har emellertid ofta en snäv uppfattning av begreppet och för många är derivata synonymt med algebraiska manipulationer. Vid uppgifter som utgår från grafer är det exempelvis vanligt förekommande att elever efterfrågar ett algebraiskt funktionsuttryck för att kunna tillämpa deriveringsregler. Förmågan att uppfatta derivatans innebörd i olika representationsformer har under lång tid lyfts fram som betydelsefullt inom den matematikdidaktiska forskningen. Samtidigt kvarstår fortfarande ett behov av att undersöka och analysera hur utvecklandet av denna förmåga kan ställas i relation till undervisningen. Syftet med denna licentiatuppsats är att beskriva hur elevers möjlighet att urskilja relationen mellan en funktions graf och grafen till funktionens derivata påverkas av innehållets behandling i undervisningen. Forskningsansatsen utgörs av en learning study som är en iterativ och cyklisk process där forskare och lärare samarbetar. Inom ramen för detta samarbete designas, implementeras och analyseras en lektion vid upprepade tillfällen och mellan varje tillfälle sker revideringar. Studien genomfördes vid en svensk gymnasieskola och innefattade sammanlagt 68 elever. De deltagande eleverna var vid genomförandet 17-18 år och kom från fyra olika gymnasieprogram. Utgångspunkterna för en learning study är tidigare ämnesdidaktiska forskningsresultat och de deltagande elevernas uttryckta uppfattningar om innehållet. För att undersöka det senare genomfördes före studien kvalitativa intervjuer med sex elever. Baserat på resultatet av intervjuerna och tidigare forskningsresultat designades lektioner med ett variationsteoretiskt perspektiv. Enligt variationsteorin innebär lärande att urskilja kritiska aspekter av ett fenomen och avgörande för möjligheten till urskiljning är det mönster av variation och invarians som skapas under lektionen. Elevernas urskiljning bedömdes med hjälp av tester före och efter lektionen och dessutom genomfördes ett fördröjt eftertest cirka sju veckor senare. Resultatet antyder att ett kvalitativt urskiljande var förenligt med en invariant representationsform under lektionen. Detta i termer av att läraren inte, vare sig skriftligt eller muntligt, relaterade grafernas utseende till algebraiska funktionsuttryck utan endast utnyttjade den grafiska representationsformen vid behandlingen av innehållet. Jämförelser med algebraiska funktionsuttryck föreföll, tvärtemot avsikten, ha lett till ett procedurellt lärande hos eleverna. Liknande effekter kunde skönjas när typen av grafer var invariant under lektionen. Om graferna som behandlades endast utgjordes av polynom av låg grad verkade elevernas möjlighet till urskiljning ha begränsats.