Banach-Tarskis paradox

Abstract

Sammanfattning I det här arbetet behandlas Banach-Tarskis paradox som påstår att enhetssfären kan delas upp i ett ändligt antal delar som sedan med hjälp av rotationer kan sammanfogas till två enhetssfärer identiska med den som existerade från början. Först undersöks paradoxen för den reella tredimensionella enhetssfären och därefter undersöks den rationella enhetssfären. Slutligen undersöks godartade grupper i samband med paradoxala dekompositioner, och det kommer även redovisas varför det inte existerar någon motsvarighet för Banach-Tarskis paradox för enhetscirkeln i två dimensioner. Abstract This paper is about the Banach-Tarski paradox that states that the unit sphere can be taken apart into a finite number of disjoint subsets and later, with the use of rotations, be put back together into two spheres identical to the first one. First the paradox is examined for the three dimensional real unit sphere and then for the rational unit sphere. Finally, amenable groups are examined in connection with paradoxical decomposition, and it will also be demonstrated that the unit circle in two dimensions does not have an equivalent to Banach-Tarskis paradox.