Banach-Tarskis paradox: fria och godartade grupper

Abstract

Detta kandidatarbete bevisar Banach-Tarskis paradox för den slutna bollen med origo bortplockad, B3 n f0g, i euklidiska rummet R3. Detta bevisas genom att låta en fri delgrupp till den speciella ortogonala gruppen i tre dimensioner, SO(3), verka på B3nf0g. Det bevisas också att det existerar oändligt många fria delgrupper till SO(3) genom att använda Baires kategorisats och Kleins pingponglemma. Kandidatarbetet visar sedan att cirkeln S1 sedd som en delmängd av det euklidiska planet R2 inte kan delas upp paradoxalt genom att låta den abelska gruppen SO(2) verka på cirkeln. Här introduceras konceptet vänsterinvarianta ändligt additiva sannolikhetsmått och med hjälp av Markov- Kakutanis fixpunktsats visas att det finns ett sådant definierad på mängden S1. Detta resultat medför att cirkeln inte kan delas upp paradoxalt.