Lösning av polynomekvationer

Abstract

Polynomekvationen är ett grundläggande matematiskt begrepp men det är inte möjligt att hitta en exakt representation av nollställena för gradtal större än fyra. Trots att det inte går att hitta exakta lösningar till dessa polynomekvationer kan man med olika metoder ofta uppnå en god approximation till nollställena. Det finns mer eller mindre enkla sätt att approximera rötterna till ett polynom av hög grad och i denna rapport utforskar vi tre av dessa metoder där respektive metod är baserad på: Sturmkedjor, argumentprincipen eller kompanjonmatrisen Genom litteraturstudier bekantade vi oss med ämnesområdet som i grunden är teoretiskt. Befintliga numeriska metoder för approximativa lösningar av polynom analyserades och bevisades matematiskt. Vi testade sedan olika lösningsmetoder inklusive Sturmkedjemetoden, argumentprincipmetoden samt kompanjonmatrismetoden. Vi testade sedan beräkningsprogrammet roots i Matlab som använder kompanjonmatrismetoden för att hitta rötter till polynomekvationer. De tre metoder som vi testade har alla sina fördelar och nackdelar. Vi kunde inte utse en bästa metod för att hitta nollställen till alla former av polynomekvationer. Ska man beräkna många polynom och det inte spelar någon roll att reella lösningar kan få en liten imaginärdel kan kompajonmatrismetoden vara intressant. Om endast reella lösningar efterfrågas och polynomen har heltalskoefficienter är Sturmkedjemetoden mycket användbar. Argumentprincipenmetoden fungerar bra för de flesta rötter men när polynomets gradtal stiger så behöver den betydligt längre beräkningstid än de andra metoderna. Vilken metod som passar bäst beror således på vilket problem som ska lösas.