Combinatorics of solvable lattice models with a reflecting end

Abstract

I den här avhandlingen studerar vi några exakt lösbara, kvantintegrerbara gittermodeller. Izergin bevisade en determinantformel för partitionsfunktionen till sexvertexmodellen på ett gitter av storlek n × n med Korepins domänväggrandvillkor (domain wall boundary conditions – DWBC). Metoden har blivit ett användbart verktyg för att studera partitionsfunktionen för liknande modeller. Determinantformeln har också visat sig vara användbar för att lösa andra typer av problem. Genom att specialisera parametrarna i Izergins determinantformel kunde Kuperberg hitta en formel för antalet alternerande tecken-matriser (alternating sign matrices – ASMs).

Bazhanov och Mangazeev introducerade speciella polynom, bland annat pn och qn, som kan användas för att uttrycka speciella komponenter av egenvektorerna för grundtillstånden till den supersymmetriska XYZ-spinnkedjan av udda längd. I artikel I hittar vi explicita kombinatoriska uttryck för polynomen qn i termer av trefärgsmodellen med DWBC och en (diagonal) reflekterande rand. Sambandet uppstår genom att specialisera parametrarna i partitionsfunktionen för den elliptiska sexvertexmodellen med DWBC och en (diagonal) reflekterande rand på Kuperbergs sätt. Som en följd av detta kan vi hitta resultat för trefärgsmodellen, exempelvis antalet tillstånd med ett givet antal rutor av varje färg. I artikel II studerar vi polynomen pn på ett liknande sätt. Kopplingen till den elliptiska sexvertexmodellen fås genom att specialisera alla parametrar utom en på Kuperbergs sätt.

Genom att använda Izergin–Korepin-metoden i Artikel III hittar vi en determinantformel för partitionsfunktionen för den trigonometriska sexvertexmodellen med DWBC och en partiellt (triangulär) reflekterande rand på ett gitter av storlek 2n×m, där m ≤ n. Sedan använder vi Kuperbergs specialisering av parametrarna för att hitta ett explicit uttryck för antalet tillstånd av modellen som en determinant av Wilson-polynom. Vi kopplar också detta till en sorts ASM-liknande matriser.

//

In this thesis, we study some exactly solvable, quantum integrable lattice models. Izergin proved a determinant formula for the partition function of the six-vertex (6V) model on an n×n lattice with the domain wall boundary conditions (DWBC) of Korepin. The method has become a useful tool to study the partition functions of similar models. The determinant formula has also proved useful for seemingly unrelated questions. In particular, by specializing the parameters in Izergin’s determinant formula, Kuperberg was able to give a formula for the number of alternating sign matrices (ASMs).

Bazhanov and Mangazeev introduced special polynomials, including pn and qn, that can be used to express certain ground state eigenvector components for the supersymmetric XYZ spin chain of odd length. In Paper I, we find explicit combinatorial expressions for the polynomials qn in terms of the three-color model with DWBC and a (diagonal) reflecting end. The connection emerges by specializing the parameters in the partition function of the eight-vertex solid-on-solid (8VSOS) model with DWBC and a (diagonal) reflecting end in Kuperberg’s way. As a consequence, we find results for the three-color model, including the number of states with a given number of faces of each color. In Paper II, we perform a similar study of the polynomials pn. To get the connection to the 8VSOS model, we specialize all parameters except one in Kuperberg’s way.

By using the Izergin–Korepin method in Paper III, we find a determinant formula for the partition function of the trigonometric 6V model with DWBC and a partially (triangular) reflecting end on a 2n × m lattice, m ≤ n. Thereafter we use Kuperberg’s specialization of the parameters to find an explicit expression for the number of states of the model as a determinant of Wilson polynomials. We relate this to a type of ASM-like matrices.