Geometrin på ytan av en kub

Abstract

Beroende p a hur tv a punkter v aljs p a kubens sidoytor kommer kortaste v agen mellan dessa att passera olika sidor. Det visar sig att, genom att m ata vinklarna mellan punkterna via n agot av h ornen som ligger p a den gemensamma kanten, kan vi avg ora vilka sidor kortaste v agen mellan dessa punkter passerar. Om b ada dessa vinklar ar mindre an 135 s a kommer det alltid att vara n armare att g a raka v agen over den gemensamma kanten. Annars ar det n armare att passera n agon tredje intilliggande sida. Om punkterna ligger p a motst aende sidor kommer samma 135 - resultat att g alla. Mest avl agsna punkt, givet en punkt som har avst and a och b fr an n armsta respektive n ast-n armsta kant, kommer att ater nnas i koordinaterna ( 2b􀀀2b2+a 3􀀀2a ; b) eller ( a+b􀀀ab􀀀b2 2􀀀a+b ; b) beroende p a olikheten 2b􀀀2b2+a 3􀀀2a < a+b􀀀ab􀀀b2 2􀀀a+b . Olikheten representerar vilka punkter som kommer ge det kortaste avst andet till denna mest avl agsna punkt. I allm anhet kommer det att nnas tre s adana v agar som ar lika l anga, men i n agra fall nns det er. D a P ligger p a n agon av kubens kanter kommer det att nnas fyra v agar som ger ett lika l angt avst and och om punkten ligger p a n agot h orn kommer det att nnas sex v agar. Det nns aven ett mycket intressant fall d a det nns tv a punkter som ar mest avl agsna samma punkt P, detta intr a ar d a P ligger p a halva sidol angden, men ej i mitten.