En sannolikhetsteoretisk behandling av diffusion baserat p˚a Einsteins modell av Brownsk r¨orelse

Abstract

I det här arbetet undersöker vi Brownsk rörelse och dess förbindelse med värmeledningsekvationen. Som förberedande material presenterar vi härledningen och lösningen till värmeledningsekvationen på R och den förutsättande termodynamiken som krävs för att förstå Albert Einsteins artikel om suspenderade partiklar i en utspädd lösning. Vi presenterar de huvudsakliga resultaten från Einsteins artikel, fyller i några matematiska tvetydigheter och gör vissa invecklade steg mera förståeliga för läsaren. Vidare undersöker vi en med Einstein samtida forskare, Smoluchowskis härledning av Brownsk rörelse. Avslutningsvis visar vi hur en enkel symmetrisk slumpvandring kan användas för att förklara Brownsk rörelse hos partiklar. I synnerhet visar vi egenskaperna för gränsvärdet för slumpvandringen, det vill säga att en slumpvandring konvergerar i fördelning till en normalfördelning. I beviset av detta faktum läggs extra vikt vid resttermerna som introduceras vid asymptotiska approximationer vilket ofta hoppas ¨over i litteraturen. Detta resultatet jämförs sedan med lösningen av värmeledningsekvationen och vi visar hur jämförelse av koefficienter kan ge en uppskattning av dimensionerna hos de Brownska partiklarna