Ramanujans mästarsats: Riesz kriterium och andra tillämpningar

Abstract

I detta arbete ger vi en rigorös framställning av teorin bakom Ramanujans mästarsats. Vårt syfte är att skriva ut de detaljer i både formuleringar och bevis som utelämnas i litteraturen, samt relatera mästarsatsen till Riesz kriterium. Vi undersöker även ett flertal andra tillämpningar. Vi inleder med en genomgång av några resultat angående Mellintransformen och gammafunktionen. Efter att vi sedan genomfört ett bevis av Ramanujans resultat visar vi på fem tillhörande följdsatser, bland annat Eulers reflektionsformel, som vi tillämpar flitigt under resterande delar av rapporten. Vi bevisar Riesz kriterium genom att tillämpa mästarsatsen, vilket skiljer sig något från Riesz ursprungliga metod. Mot slutet av rapporten presenterar vi en flerdimensionell version av mästarsatsen och ger exempel på vad för integraler vi kan lösa med hjälp av den