Matematiska såll och deras tillämpningar

Abstract

Syftet med denna rapport är att ge läsaren en inblick i det matematiska delområdet sållteori genom att redogöra för dess grundläggande idéer och tillämpningar, samt att presentera en datorimplementation av Eratosthenes såll. I rapporten presenteras Eratosthenes generaliserade såll, samt Bruns och Selbergs såll. Först ges en kortfattad historisk kontext till sållen, följt av en översiktlig härledning, och därtill ett exempel på hur sållen kan tillämpas för att ge resultat om bland annat primtalstvillingar och primtal i aritmetiska serier. Efter att de tre sållen introducerats diskuteras och jämförs orsaken till deras feltermer. Avsikten med detta är att belysa de möjligheter och begränsningar som finns i sållen som verktyg. Efter att ha etablerat viss grundläggande teori övergår rapportens fokus till en algoritmisk implementation av Eratosthenes såll baserad på Harald Helfgotts arbete [1]. Här beskrivs de underliggande matematiska principerna till algoritmen och dess övergripande struktur. Därefter redovisas den metod som har använts, och väsentliga beslut som fattats för att översätta algoritmen till ett effektivt program skrivet i programmeringsspråket Python. I den sista delen av rapporten presenteras resultat utifrån kvantitativ data som genererats av programmet vid sållning av primtal i intervallet 1019 1:25 109. För att styrka denna datas giltighet jämförs den mot primtalssatsen och med stöd i detta undersöks den förmodade fördelningen av primtalstvillingar, i förhållande till det som uppmätts i intervallet. Avslutningsvis betraktas datan med avseende på frekvensen av primtalsgap, följt av en kort diskussion om hur detta knyter an till framsteg som gjorts om primtalsgap i modern tid.