Från Liealgebror till rumtidssymmetrier

Abstract

Kontinuerliga symmetrier är grundläggande inom teoretisk fysik, och beskrivs på ett naturligt sätt via Liegrupper bestående av symmetritransformationer av det underliggande fysikaliska systemet. Varje sådan grupp svarar i sin tur mot en Liealgebra som låter oss studera aspekter av Liegruppen med ytterligare matematiska tekniker. Följande arbete syftar till att sammankoppla den abstrakta teorin för Liealgebror med deras roll inom fysik genom konkreta exempel och beräkningar. Närmare bestämt härleds den begränsade Lorentzgruppen – en viktig Liegrupp inom speciell relativitetsteori – med utgångspunkt i den abstrakta Liealgebran A3, konstruerad från sitt Dynkindiagram. Med hjälp av explicita matrisrepresentationer fastslås ytterligare (kända) samband mellan olika Liealgebror och den begränsade Lorentzgruppen, på ett konkret sätt. Till sist noterar vi att, även om matrisalgebror är användbara för att studera Liealgebrornas roll inom fysik, behöver vi fortfarande den abstrakta, komplexa teorin för den fulla förståelsen. Följakligen föreslås en närmre studie av våra resultat utifrån det abstrakta perspektivet som en ingång till vidare forskning.