Effektiv implementering av Helmholtz ekvation med applikationer inom medicinsk bildbehandling i C++/PETSc

Abstract

I detta arbete approximeras Helmholtz ekvation med hjälp av den finita differensmetoden för olika parametrar såsom, dämpningsterm, rutnätsstorlek, frekvens och förkonditionerare. Helmholtz ekvation kan användas till mycket, bland annat används det vid akustik och seismologi. Men i detta arbete tillämpas Helmholtz ekvation inom medicinsk bildbehandling. Bara för att Helmholtz ekvation är användbar betyder det inte att den är lätthanterbar. Alla givna parametrar är intressanta i ett medicinskt mikrovågsbildbehandlingssyfte och har verkliga kopplingar. Mikrovågsbildbehandling används vid tumöridentifikation då tydliga skildringar i permittivitet detekteras vid bildbehandlingen. Behandlingen kan därav användas för att hitta tumörer i människokroppen. Syftet med arbetet är att hitta goda approximationer för olika parametrar, och hur de möjligtvis kan förbättras. Approximationens finhet bestäms med dess relativa fel vilket kallas för konvergensanalys, och representerar dess exakthet utomordentligt. Resultatens analys visar att ett tydligt intervall fås där approximationerna visar sig vara dåliga. Med detta betyder det att allt utanför detta intervall visar sig ge en bra approximation till Helmholtz ekvation, och är alltså det vi fokuserar på. När man då vill approximera en lösning till Helmholtz ekvation vill man hamna utanför det vi kallar resonansintervallet. För att hitta resultat som beskriver resonansintervallet kan koden som används i detta arbete tillämpas i eget syfte. Med lätta ändringar kan även övriga, och fler, parametrar tilläggas för personligare resultat. Dessa parametrar kan vara andra förkonditionerare, elektriska permittiviteter eller koefficienter för Helmholtz ekvation.