Lattice Boltzmanns metod för diffusion.

Abstract

Att lösa partiella differentialekvationer, PDE, med hjälp av numeriska metoder har blivit vitalt det senaste århundradet. Det finns flera metoder tillgängliga och lattice Boltzmanns metod, LBM, har visat sig vara ett kraftfullt verktyg för att lösa Navier- Stokes, N-S ekvation. Metoden är beräkningsmässigt effektiv i jämförelse med andra numeriska metoder under rätt förhållanden. Mängden datorkraft som behövs för att lösa en PDE är viktig och detta gör LBM intressant just på grund av dess beräkningseffektivitet. En studie om möjligheterna att använda LBM till att lösa andra sorters PDE än N-S ekvation är spännande och utbildande. I detta arbete tar vi reda på om LBM kan användas till att lösa och modellera diffusionsekvationen, och om fallet är sådant validera att resultatet är tillräckligt korrekt. Om LBM kan användas för att lösa och modellera diffusionsekvationen, kan den även lösa den anisotropa diffusionsekvationen? Vi börjar med att härleda LBM för diffusion i en dimension. Under denna arbetsprocess tittar vi på ordning av fel och den numeriska stabiliteten hos metoden. När vi har färdigställt detta och metoden har blivit numeriskt implementerad, valideras resultatet med hjälp av den analytiska lösningen. Den anisotropa diffusionsekvationens lösningen är svår att validera och vi har begränsat vår artikel till att endast beskriva teorin. Artikeln är också begränsad till att endast lösa diffusion och inte advektion av ett flöde. Resultaten från den teoretiska och numeriska lösningen visar att LBM är en stabil och tillräckligt exakt lösning till diffusionsekvationen.