Department of Mathematical Sciences / Institutionen för matematiska vetenskaper

Permanent URI for this communityhttps://gupea-staging.ub.gu.se/handle/2077/28886

Browse

Now showing 1 - 20 of 212

A Wave Propagation Solver for Computational Aero-Acoustics
(2012-03-14) Solberg, Elin; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Simulation software is increasingly replacing traditional physical testing in the process of product development, as it can in many cases reduce development times and costs. In a variety of applications, the reduction of noise is an important aspect of the product design and using methods from the field of computational aero-acoustics (CAA), the generation and propagation of sound in air may be simulated. In this project, a FEM-based solver for the three-dimensional Helmholtz equation, modeling the propagation of sound waves, has been developed and tested. The implementation includes Galerkin/leastsquares stabilization. Both interior and exterior problems are handled; the latter by a coupled finite-infinite element method. Further, using a hybrid CAA methodology the solver may be coupled to a CFD solver, to simulate the sound arising from transient fluid flows. The solver has been tested, and observed to perform well, on a set of interior and exterior problems. Results are presented for three cases of increasing complexity: first an interior, homogeneous problem with a known analytical solution, second an exterior problem with point sources and third an exterior problem with acoustic sources from a CFD computation, i.e. a full hybrid CAA simulation. In the two latter cases, the frequencies at which standing waves appear in a pipe and a deep cavity, respectively, are compared to theoretically computed values, and are seen to be well captured by the simulations. Moreover, the results of the full CAA simulation are compared to experimental data, to which they show good resemblance. The mathematical model, numerical methods and implementation are presented in the report along with numerical results.
Aggregation- och separationsprocesser
(2020-07-01) Andersson, Lydia; Furufors, Karin; Gilmsjoe, Jessica; Lööf, Emelie; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Undersökningen studerar utvecklingen av slutna linjära molekylära system och dess asymptotiska egenskaper. För att göra detta tittar vi inledningsvis på system med ett litet antal atomer för att sedan generalisera resultaten till att även gälla allmänna system. För att göra detta tillämpar vi metoder för Markovkedjor, vilket är en underliggande teoretisk modell för det molekylära systemet. Det molekylära systemets stationära fördelning erhålls explicit genom att tillämpa den så kallade balansekvationen och Kolmogorovs kriterium för reversibilitet. Frekvensfunktionen för den stationära fördelningen av det totala antalet molekyler fastställs och undersökningen fortgår med att studera det molekylära systemets asymptotiska beteende. Slutligen verifieras de erhållna teoretiska resultaten med datorsimuleringar.
Åldersbedömning av asylsökande
(2019-06-26) Viktor Erbro; Henrik Esmaili; Pontus Larsson; Jesper Olsson; James Pålsson; Erik Sörstadius; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Dethärkandidatarbetethartagitframenåldersbedömningsmetodbaseradpåbayesianskinferens. Som åldersindikatorer har mognadsstadier för vänster och höger visdomstand i underkäken och en knäled på godtycklig sida använts. I artiklar som kopplar ålder till mognadsstadium för knäled eller visdomstand ﬁnns rådata över åldrar inte presenterade. Information om åldrar är istället presenterade som beskrivande statistik. Från den beskrivande statistiken har åldersdata framställts genom stokastisk optimering. Den stokastiska optimeringsalgoritmen Basin-hopping valdes för implementeringen. Därefter har en probitmodell ställts upp med användning av den framställda datan, varefter maximum likelihood estimationanvändsföratthittademodellparametrarsombästbeskriverprobitmodellen.Deframtagna modellparametrarna beskriver logistiska avbildningar. Från avbildningarna hämtas därefter sannolikheterna att tillhöra ett visst mognadsstadium givet den framställda åldersdatan. De här sannolikheterna beskriver likelihood. Vidare har en apriorifördelning (prior) tagits fram för att motsvara åldersfördelningen på de som blir åldersbedömda av Migrationsverket. Den har utgått från antalet asylsökande, med tandstadie H på vänster eller höger visdomstand i underkäken, som åldersbedömdes år 2017. Därefter har antalet korrigerats med hänsyn till de fall då man har olika tandstadier på vänster och höger visdomstand. Framtagen prior beskrivs enligt Ålder∼Gamma(k = 2.4,θ = 2.14) + 15, trunkerad vid Ålder = 30 år. Givet åldershypoteserna H0 = {ålder över 18 år} och H1 = {ålder under 18 år} ställs därefter likelihood ratio respektive prior odds upp varefter posteriori odds tas fram med Bayes teorem. Hypoteserna H0 och H1 har vardera en sannolikhet för att vara sann. Från posteriori oddset kan varje sannolikhet för att en hypotes stämmer tas fram. Tröskelvärden,ellercut-oﬀ,försannolikheternaharansattsförattkunnatestametoden.Omen asylsökandessannolikhetattvaraöver18årärstörreändesströskelvärde,bedömsdenasylsökande till att vara över 18 år. Motsatt fall råder om sannolikheten att vara över 18 år är mindre än dess tröskelvärde. Resultatet är ett ﬂertal tabeller, baserade på olika publikationer, som kan användas för att åldersbedöma en asylsökande efter ett ansatt tröskelvärde. Slutsatsen är att metoden kan tillämpas. Metoden ger ett explicit resultat i form av sannolikheter vilket kan utvidgas om ny forskning publiceras. Beslutstabellerna som har tagits fram kan användas som underlag för bedömning.
Algebra ur ett matematiskt, historiskt och didaktiskt perspektiv - En litteraturstudie om karakteristiska svårigheter och undervisning om skolalgebra
(2017-05-16) Larsson, Amanda; Carlsson, Hilma; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Den här uppsatsen behandlar algebra, dess historia, elevers svårigheter vid lärande av ämnet och olika synsätt på att undervisa algebra utifrån matematiklärare, matematikdidaktiker och matematik historiker. Med detta arbete försöker vi besvara frågor som rör hur algebran har utvecklats genom historien, vad det finns för olika tillvägagångssätt vid algebraundervisning och vilka svårigheter elever har då de arbetar med algebra. De befintliga undervisningsmetoderna för algebra har ännu inte utvärderats tillräckligt väl för att finna en enskild metod som passar alla elever. Däremot har de flesta studier vi tagit del av pekat på att de mest karakteristiska svårigheterna är begreppsförståelse och bristande kunskaper i aritmetik. Vi valde att närmare undersöka undervisningsmetoden där vardagsnära problemlösningsuppgifter är centralt inom algebra och fann potential för vidare forskning.
Algorithms for Pure Categorical Optimization
(2019-06-20) Eklund, Oskar; Ericsson, David; Liljenberg, Astrid; Östberg, Adam; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Optimeringsproblem med kategoriska variabler är vanligt förekommande exempelvis inom bilindustrin och andra industrier där mekaniska komponenter ska väljas ut och kombineras på gynnsamma sätt. Avsaknaden av naturlig ordning på beslutsvariablerna gör att kategoriska optimeringsproblem oftast är svårare att lösa än diskreta eller kontinuerliga problem. Det är därför viktigt att ta fram metoder som löser kategoriska optimeringsproblem. Den här rapporten presenterar tre olika algoritmer som kan användas för att lösa kategoriska optimeringsproblem: en lokalsökningsalgoritm, en globalsökningsalgoritm, och en genetisk algoritm. Dessutom presenteras två olika omgivningsdeﬁntioner att använda ihop med lokalsökningsalgoritmen, en diskret, och en kategorisk. Algoritmerna implementerades i Matlab och testades på två olika kategoriska optimeringsproblem: ett artiﬁciellt problem, och ett balkproblem. De framtagna algoritmerna applicerades på ett stort antal instanser av testproblemen och deras prestanda utvärderades med hjälp av prestandaproﬁler och dataproﬁler. Lokalsökningsalgoritmen utrustad med den kategoriska omgivningen presterade bäst av de testade algoritmerna.
Always Look on the Positive-Definite Side of Life
(2020-11-24) Byléhn, Mattias; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
This thesis concerns distributions on Rn with the property of being positive-definite relative to a finite subgroup of the orthogonal group O(n). We construct examples of such distributions as the inverse Abel transform of Dirac combs on the geometries of Euclidean space Rn and the real- and complex hyperbolic plane H2, H2 C. In the case of R3 we obtain Guinand’s distribution as the inverse Abel transform of the Dirac comb on the standard lattice Z3 Ç R3. The main theorem of the paper is due to Bopp, Gelfand-Vilenkin and Krein, stating that a distribution on Rn is positive-definite relative to a finite subgroup W Ç O(n) if and only if it is the Fourier transform of a positive W-invariant Radon measure on n z 2 Cn : z 2W.z o ½ Cn . We present Bopp’s proof of this theorem using a version of the Plancherel-Godement theorem for complex commutative ¤-algebras.
An argument principle for generalised point residues
(2021-08-24) Nkunzimana, Rahim; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
We define a point residue for any Artinian O-modules via Hermitian free resolutions, generalising the one dimensional residue and the classical multivariate Grothendieck point residue. We consider various definitions of multiplicity for such modules and prove a residue formula connecting the algebraic multiplicity to our residues. Our result can be seen as a generalisation both of the argument principle and a corresponding result for Grothendieck residues. It is also a special case of a recent result for Andersson-Wulcan currents proven by Lärkäng and Wulcan.
An exploratory machine learning workflow for the analysis of adverse events from clinical trials
(2020-06-26) Carlerös, Margareta; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
A new pharmaceutical drug needs to be shown to be safe and effective before it can be used to treat patients. Adverse events (AEs) are potential side-effects that are recorded during clinical trials, in which a new drug is tested in humans, and may or may not be related to the drug under study. The large diversity of AEs and the often low incidence of each AE reported during clinical trials makes traditional statistical testing challenging due to problems with multiple testing and insufficient power. Therefore, analysis of AEs from clinical trials currently relies mainly on manual review of descriptive statistics. The aim of this thesis was to develop an exploratory machine learning approach for the objective analysis of AEs in two steps, where possibly drug-related AEs are identified in the first step and patient subgroups potentially having an increased risk of experiencing a particular drug sideeffect are identified in the second step. Using clinical trial data from a drug with a well-characterized safety profile, the machine learning methodology demonstrated high sensitivity in identifying drug-related AEs and correctly classified several AEs as being linked to the underlying disease. Furthermore, in the second step of the analysis, the model suggested factors that could be associated with an increased risk of experiencing a particular side-effect, however a number of these factors appeared to be general risk factors for developing the AE independent of treatment. As the method only identifies associations, the results should be considered hypothesisgenerating. The exploratory machine learning workflow developed in this thesis could serve as a complementary tool which could help guide subsequent manual analysis of AEs, but requires further validation before being put into practice.
Analys av gener och arter i metagenomikdata
(2019-06-14) Bäckström Lebens, Sofia; Eriksson, Emma; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
As new extreme high throughput DNA sequencing methods continue to develop the large amounts of information that they give rise to in terms of metagenomic data opens the way for completely novel approaches to the study of microbial ecosystems. In this project we have investigated how relationships and connections between microbial genes and species that carry them can be found based entirely on their appearance in two separate datasets accumulated from the same samples using metagenomic analysis. The dataset used in the study consists of abundance of genes and species derived from DNA isolated from microbial communities in biofilms formed in seawater treated with different concentrations of the antimicrobial agent triclosan. Genes and species that responded in the same way to changes in the concentration of triclosan were grouped together for further analysis. The method used for creating the different constellations consisted of a first step where genes and species were clustered based on their abundance in the samples. In the next step genes with strong correlations to each cluster of species and species with strong correlations to each cluster of genes were identified. These constellations based on species and genes were robust appearing not to vary with variations in the parameters of the analysis and not to be dependent on whether the clustering was based on associations of genes or vice versa. The constellations were also homogeneous with respect to species and gene functionality (the same genes clustering with the same species) which we interpret as meaning that the likelihood of a tangible connection between them being identified is high. Clearly, concrete conclusions regarding the species and the genes they carry cannot me made using the methods we present here, but several interesting patterns have emerged that would bare further scrutiny. For example, genes involved with the horizontal transfer of DNA between species do not appear to survive in triclosan whereas genes associated with the bacterial immune system were highly associated with bacteria that were able to establish themselves in the presence of triclosan. Few analyses have been done in which information about the species present in a studied niche or ecosystem and the genes that they collectively contain are combined and there is much new information to be derived from such studies. Statistical approaches to the analysis of species and their collective genome has the potential to give new insights into previously unknown associations and to develop hypotheses that can be further tested experimentally.
Ändliga projektiva plan
(2014-10-15) Dobondi, Bogdan; Nilsson, Malin; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Sammanfattning Denna rapport ¨ar ett examensarbete p°a kandidatniv°a. Vi b¨orjar med att introducera de n¨odv¨andiga algebraiska koncepten som beh¨ovs. D¨arefter introducerar vi projektiva plan och g°ar igenom de grundl¨aggande egenskaperna f¨or dessa. Vi forts¨atter med att definiera och unders¨oka kollineationer, f¨or att sedan konstruera projektiva plan ¨over kroppar. Vi ger exempel p°a ett Galoisplan av ordning tre och minikvarternionplanet ⌦. D¨arefter behandlas koordinatisering av projektiva plan. Vi introducerar den plan¨ara tern¨ara ringen och unders¨oker dess algebraiska egenskaper. Detta g¨or att vi avslutningsvis kan bevisa den fundamentala satsen f¨or ¨andlig projektiva geometri.
Artificial Intelligence for Option Pricing
(2022-06-19) Hietanen, Emil; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
This thesis addresses the issue of vulnerable underlying assumptions used in option pricing methodology. More precisely; underlying assumptions made on the financial assets and markets make option pricing theory vulnerable to changes in the financial framework. To enhance the robustness of option pricing, an alternative approach using artificial intelligence is introduced. Artificial intelligence is an advantageous tool for pricing financial assets and instruments, in particular; the use of deep neural networks as one does not have to make any assumptions. Instead, the neural network learns the underlying patterns of the asset and market directly from the input data. To test the proposed pricing alternative, an error metrical analysis, a log-returns distribution fit, and a volatility-smile fit is performed. Four mathematical option pricing models are used as reference models; Black–Scholes, Merton jump-diffusion model, Heston stochastic volatility model and Bates stochastic volatility with jumps. In addition, three types of neural networks are used; multilayer perceptron (MLP), long short-term memory (LSTM), and convolutional neural network (CNN). All methods included in the thesis require some predefined set of parameters, therefore, a parameter calibration method is required. A non-linear least square method can be used for cases where the number of combinations is sufficiently small. However, as the possible number of parameter combinations increases, the method becomes too computationally heavy. To combat this, an evolutionary reinforcement machine learning algorithm is introduced to find a set of calibrated parameters in a more efficient approach. First versions of option pricing neural networks show great promise, with significantly better results than the reference models. In addition, the networks show good coherence to existing stylized facts of options, in terms of the empirical frequency distribution of log-returns and volatility smile fit.
Artins förmodan: p-adiska tal, ändliga kroppar och ekvationer utan heltalslösningar
(2019-07-01) Karlsson, Alexander; Klyver, Markus; Wahl, Kajsa; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
This paper is based on Artin's conjecture concerning homogeneous polynomial equations. The conjecture is false in general but it is still true in many cases. One of our goals is to motivate why the conjecture is formulated the way it is. Moreover, we present a counterproof to the conjecture and we prove the conjecture in one specific case. We construct the p-adic numbers as the conjecture is expressed in terms of p-adic numbers and we introduce theory on finite fields, as it is needed in the motivation of the conjecture, the counterproof and in the proof of the specific case.
Att mäta SVT-program
(2019-07-01) Brandby, Johan; Wennerblom, Julia; Andersson, Stina; Gardell, Therese; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
The purpose of this study is to examine whether or not the concept of informational advantage in series has a correlation with the popularity of the series. Informational advantage as a dramaturgical tool means that the viewer, at any given point throughout the series, either knows more, less or the same amount as the character in the show; these stages are called dramatic irony, mystery, and suspence respectively. Three different questions were examined. The time spent in one stage before switching to the next is examined with an Anderson-Darling test to see if it fits any statistical distribution, and if there is a difference between series with high and low viewership numbers. The conclusion is that it cannot be rejected that the time follows a log-normal distribution and that the expected time a program will spend in one stage before switching is shorter in programs with high viewership numbers. Furthermore, whether the total percentage of time spent in the different stages has a linear relationship with the viewership numbers is examined with linear regression using the method of least squares. With the collected data it was difficult to make a definitive conclusion, however the data implies that the relationship is stronger for the time spent in dramatic irony and viewership numbers, than the relationship for mystery. The relationship is especially stronger for the online viewership. Lastly it is examined whether the percentage of switches between the different states has a linear relationship with the viewership numbers, also with the method of least squares. The result points towards switches between dramatic irony and suspence correlating positively with viewership, while switches between mystery and suspence seem to correlate negatively with viewership.
Audio Anomaly Detection in Cars
(2023-09-11) Hussein, Asma; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Audio anomaly detection in the context of car driving is a crucial task for ensuring vehicle safety and identifying potential faults. This paper aims to investigate and compare different methods for unsupervised audio anomaly detection using a data set consisting of recorded audio data from fault injections and normal "no fault" driving. The feature space used in the final modelling consisted of: CENS (Chroma energy normalized Statistic), LMFE (Log Mel Frequency Energy), and MFCC (Mel-frequency cepstral coefficients) features. These features exhibit promising capabilities in distinguishing between normal and abnormal classes. Notably, the CENS features which revealed specific pitch classes contribute to the distinguishing characteristics of abnormal sounds. Four Machine learning methods were tested to evaluate the performance of different models for audio anomaly detection: Isolation Forest , One-Class Support Vector Machines, Local Outlier Factor, and Long Short-Term Memory Autoencoder. These models are applied to the extracted feature space, and their respective performance was assessed using metrics such as ROC curves, AUC scores, PR curves, and AP scores. The final results demonstrate that all four models perform well in detecting audio anomalies in cars, where LOF and LSTM-AE achieve the highest AUC scores of 0.98, while OCSVM and IF exhibit AUC scores of 0.97. However, LSTM-AE displays a lower average precision score due to a significant drop in precision beyond a certain reconstruction error threshold, particularly for the normal class. This study demonstrates the effectiveness of Mel frequency and chroma features in modelling for audio anomaly detection in car and shows great potential for further research and development of effective anomaly detection systems in automotive applications.
Avkodning av Reed-Solomon koder: En studie av Euklides-Sugiyamas algoritm och avkodning med felkorrigerande par
(2025-03-12) Engblom, Fredric; Grönlund, Rasmus; Kjörk, Adam; Levenstam, Truls; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Reed-Solomon koder, som är en sorts felkorrigerande kod, har många tillämpningar. Exempelvis används Reed-Solomon koder vid kommunikation eller när information sparas på en hårddisk. Koderna ser till att informationen kan återfås även om det skulle uppstå fel, vilket görs genom att lägga till redundans till informationen som ska överföras eller sparas. För att återfå den ursprungliga informationen på ett effektivt sätt krävs bra algoritmer för avkodning. I rapporten presenteras först bakgrundsteorin som behövs för att förstå Reed-Solomon koder. Två algoritmer, Euklides-Sugiyama och avkodning med felkorrigerande par, presenteras sedan. Algoritmerna implementeras även i programmeringspråket SageMath för att se hur dessa fungerar i praktiken.
The Banach-Tarski paradox
(2022-07-04) Elofsson, Carl; Nilsson, Adrian; Söderberg, Nicolas; Westlund, Tim; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
In this thesis we present a proof of the Banach-Tarski paradox, a counterintuitive result that states that any ball in R3 can be cut into finitely many pieces and then be reassembled into two copies of the original ball. Since the result follows from the axiom of choice it is important for assessing its role as an axiom of mathematics. A related result that we also include is that the minimal number of pieces in such a decomposition of any ball in R3 is five. The proof uses the paradoxicality of the free group on two generators and the existence of a free subgroup of the special orthogonal group SO3. We also give a proof of Tarski’s theorem, which states that the existence of a finitely additive, isometry invariant measure normalizing a set is equivalent to that set not being paradoxical. The proof makes use of the Hahn-Banach theorem and relies on the concept of a group acting on several copies of a set.
Banach–Tarski paradoxen och dess implikationer på måttproblemet
(2020-07-01) Enarsson, Lukas; Johansson, Oskar; Molin, Vincent; Timlin, Emil; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Vi presenterar ett bevis av en sats av Stefan Banach och Alfred Tarski, som bygger på resultat av Felix Hausdorff: Det finns två ändliga samlingar av disjunkta delmängder av enhetsbollen i R3 sådana att varje samling kan transformeras till en ny enhetsboll under verkan av stela rörelser (ändliga kombinationer av translationer och rotationer). Detta resultat förlängs sedan till dess starka form: Om A;B är två begränsade delmängder av R3 med icketomt inre så finns två partitioner fAign i=1; fBigni =1 av A och B respektive, och stela rörelser _1; _2; :::; _n sådana att _i(Ai) = Bi för varje i = 1; 2; :::; n. Dessa satser kallas för Banach– Tarski paradoxen. Måttproblemet ställer frågan huruvida man kan tilldela en volym till varje delmängd av Rn för n 2 N så att volym bevaras under stela rörelser och partitionering. Vi visar att, som en konsekvens av Banach–Tarski paradoxen, kan man inte ge ett jakande svar till måttproblemet för n > 2. Vi diskuterar om detta kan ges i en och två dimensioner, och i allmänhet hur problemet att tilldela en volym till varje delmängd av en mängd X relaterar till existensen av dekomposititoner av delmängder av X liknande dem ovan, där elementen som transformerar dekompositionerna kan höra till vilken klass som helst av bijektioner av X
Banach-Tarskis paradox
(2015-09-07) Tivedal, Frida; Wirén, Fredrik; Bäckström, Karl; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Sammanfattning I det här arbetet behandlas Banach-Tarskis paradox som påstår att enhetssfären kan delas upp i ett ändligt antal delar som sedan med hjälp av rotationer kan sammanfogas till två enhetssfärer identiska med den som existerade från början. Först undersöks paradoxen för den reella tredimensionella enhetssfären och därefter undersöks den rationella enhetssfären. Slutligen undersöks godartade grupper i samband med paradoxala dekompositioner, och det kommer även redovisas varför det inte existerar någon motsvarighet för Banach-Tarskis paradox för enhetscirkeln i två dimensioner. Abstract This paper is about the Banach-Tarski paradox that states that the unit sphere can be taken apart into a finite number of disjoint subsets and later, with the use of rotations, be put back together into two spheres identical to the first one. First the paradox is examined for the three dimensional real unit sphere and then for the rational unit sphere. Finally, amenable groups are examined in connection with paradoxical decomposition, and it will also be demonstrated that the unit circle in two dimensions does not have an equivalent to Banach-Tarskis paradox.
Banach-Tarskis paradox: amenabla grupper och urvalsaxiom
(2025-06-27) Almgren Nyle´n, Albin; Duchek, Elliot; Olausson, Edwin; Stockfelt, Edwind; Svedenkrans, Elmer; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Vi presenterar bevis av både den starka och svaga formuleringen av Banach-Tarskis para dox. Specifikt visar vi att alla klot i R3 är E(3)-paradoxala (svaga formuleringen), och att alla begränsade delmängder av R3 med icke-tom interiör är E(3)-ekvidekomponerbara (starka formuleringen). Vi presenterar relevant teori gällande ekvidekomponerbarhet och paradoxalitetsom krävs för att genomföra bevisen. Utöver Banach-Tarskis paradox undersöker vi amenabla grupper och presenterar ett graf teoretiskt bevis av Tarskis sats, nämligen att en grupp antingen är amenabel eller paradoxal. Vi ger några exempel på amenabla och paradoxala grupper, presenterar nödvändiga och tillräckliga villkor för amenabilitet och visar att alla Abelska grupper är amenabla samt att SO(n) är paradoxal för alla n ≥ 3 medan SO(1) och SO(2) är amenabla. Då Banach-Tarskis paradox bygger på paradoxaliteten hos SO(3) finns det alltså ingen analog paradox i R eller R2. Vi undersöker också urvalsaxiomets roll genom att visa att en uppräknelig begränsning av urvalsaxiomet inte ger Banach-Tarskis paradox. Detta gör vi genom att introducera de terminismaxiomet och visa att under detta är alla delmängder av R Lebesgue-mätbara vilket motsäger paradoxen. Därefter lägger vi även till axiomet V = L(R) och visar att de tillsammans medför den uppräkneliga begränsningen av urvalsaxiomet. Sammanlagt ger detta en modell där det uppräkneliga urvalsaxiomet håller men inte Banach-Tarskis paradox.
Banach-Tarskis paradox: fria och godartade grupper
(2019-06-18) Eriksson, Björn; Håkansson, Erik; Lindström, Maria; Raufi, Nazli; Sjögren, David; University of Gothenburg/Department of Mathematical Science; Göteborgs universitet/Institutionen för matematiska vetenskaper
Detta kandidatarbete bevisar Banach-Tarskis paradox för den slutna bollen med origo bortplockad, B3 n f0g, i euklidiska rummet R3. Detta bevisas genom att låta en fri delgrupp till den speciella ortogonala gruppen i tre dimensioner, SO(3), verka på B3nf0g. Det bevisas också att det existerar oändligt många fria delgrupper till SO(3) genom att använda Baires kategorisats och Kleins pingponglemma. Kandidatarbetet visar sedan att cirkeln S1 sedd som en delmängd av det euklidiska planet R2 inte kan delas upp paradoxalt genom att låta den abelska gruppen SO(2) verka på cirkeln. Här introduceras konceptet vänsterinvarianta ändligt additiva sannolikhetsmått och med hjälp av Markov- Kakutanis fixpunktsats visas att det finns ett sådant definierad på mängden S1. Detta resultat medför att cirkeln inte kan delas upp paradoxalt.

Browse

Browsing Department of Mathematical Sciences / Institutionen för matematiska vetenskaper by Title